”約数とは？”の基本から、入試に頻出の”約数を利用した文章題”まで理解しましょう！
また、約数に慣れておくと、”約分忘れ”も少なくなりますよ！
約数とは？
太郎くん、いきなりだけど、”約数”って何かな？
えっ！突然、聞かれると、、、えー、わり算できる数みたいな。。。
そうそう！そんな感じ！
約数とは、”ある整数を割り切ることができる整数”のことだ。
じゃあ、一つ聞いてみていいかな？6の約数は？
6の約数ですから、6を割り切ることができる整数のことなので、、、6÷1＝6、6÷2＝3、6÷3＝2、6÷6＝1と、1，2，3，6で割ることができました！
その通り！6の約数は、1，2，3，6の4個ということになるんだ！
6本のえんぴつを何人かの子供に分けるというとき、1人とか2人とか3人とか6人だったら、あまりなく分けることができるっていうことだ。
今、太郎くんがやってくれた、わり算の式4つで何か気づくことあるかな？
この式で気づくことですか？ 6÷1＝6、6÷2＝3、6÷3＝2、6÷6＝1
えーと、あっ！わり算の答え(青)にも約数が全部出てきます！
そう！いいところに気が付いたね！
｛6÷1＝6、6÷2＝3、6÷3＝2、6÷6＝1｝
この4つの式って、6＝1×6、6＝2×3、6＝3×2、6＝6×1というように表すこともできるね。
わり算の答えも約数になるっていうこと！
約数を書き出していくときは、かけ算の形のペアで書き出していくといいです。
約数を書き出そう
じゃあ、太郎くん、12の約数を全部書き出してみてくれるかな？
はい、12をかけ算の形で書き出していきます。
12＝1×12、2×6、3×4、、、で終わりですよね。
ということは、1と12、2と6、3と4の6個の数字になりました。
大正解！太郎くん、すごい！
じゃあ、次は16の約数を全部書き出してくれるかな？
はい、16をかけ算の形で書き出していきます。
16＝1×16、2×8、4×4、、、で終わりだと思うんですけど、4が二つ出てきて、
ということは、1と16、2と8、4と4、、、で、6個？、いや、5個ですか？
4と4は、同じ数だから、正解は5個だね。1、2、4、8、16の5個だ！
約数が何個あるのか書き出していくと大体の数は、”偶数個”になることが多い。それは、○×△というように約数はペアで出てくるからなんだけど、16のように約数の個数が”奇数個”になるものもあるよ。
約数の個数が”奇数個”になるのは、4×4のようにペアが自分自身と同じ数字になる数です。このように同じ数字の積になっている数を”平方数（四角数）”といいます。”平方数（四角数）”は、約数の個数が奇数個になります。
公約数・最大公約数
太郎くん、今度は18の約数と24の約数を、それぞれ書き出してみてくれるかな？
はい、
18＝1×18，2×9，3×6ですから、18の約数は｛1，2，3，6，9，18｝
24＝1×24、2×12、3×8、4×6ですから、24の約数は｛1，2，3，4，6，8，12，24｝
になりました。
そうすると、両方に共通する約数があるんだけど、どれかな？
はい、
18の約数｛1，2，3，6，9，18｝、24の約数｛1，2，3，4，6，8，12，24｝に共通するのは、｛1，2，3，6｝の4つです。・・・これが何なんでしょうか？
約数を書き出すのが上手になったね！
それで、18と24に共通する約数｛1，2，3，6｝を取り出してもらったんだけれど、これらの数を、18と24の公約数っていうんだ。この中でも最も大きい公約数を、最大公約数っていうんだけど、入試頻出の文章題で使うから、絶対覚えておこう！
じゃあ、18と24の最大公約数は6で、公約数は1，2，3，6ということですよね？！
先生、そうすると、公約数1，2，3，6は、最大公約数6の約数になってませんか？！
おー！よく気が付いた！その通り！
18も24も、両方とも6で割れるんだから、当然、1でも2でも3でも割れるでしょっていう話だ！
ある二つの整数の公約数は、最大公約数の約数になっている。
上の例でいえば、18と24の公約数｛1，2，3，6｝は、18と24の最大公約数6の約数になる。
最大公約数の求め方
じゃあ、先生、最大公約数を求めることができれば、公約数はわかるっていうことですよね！？
それぞれ約数を全部書き出さなくてもいいってことですよね！？
その通り！
18と24の公約数を知りたければ、最大公約数6を求めてあげることで、あとは6の約数をかきだしてあげればいいんだ！
最大公約数の求め方には、”連除法”という便利な方法があります。2ステップです。
①18と24を共通して割れる数で割っていきます。右の例では、まずは2で割って、その次に3で割りました。
②次に、それらの数をかけ合わせたら終了です。2×3＝6が最大公約数です。
へ～、じゃあ、公約数をもとめるとき、それぞれの約数をいちいち全部書き出さなくても、
①まず最大公約数求めて、②その約数を求める、という2段階でやればいいんですね！
約数を利用した文章題（入試に頻出）
だいぶ約数について、理解が深まってきたと思うよ！
それじゃあ、入試によく出てくる文章題を一つやってみようか！
赤玉30個は全部配ることができたので、子どもの人数は30を割ることができる数、つまり、30の約数ですよね？！
その通り！バッチリ！
それで、次に青玉は何個配ることができたのかというと、48ー3＝45個だから、子どもの人数は45を割ることができる数、つまり45の約数で間違いないですか！
見事！バッチリ！
ということは、両方合わせて考えると、子どもの人数は30の約数であり、45の約数でもあるので、つまりは30と45の公約数ということですね！
ハイ！いいね！
じゃあ、さっきの手順で30と45の最大公約数を求めてみます。
連除法を使って、3×5＝15になりました。
・・で、次は何をするんだったっけ・・・
そうだ！①最大公約数→②公約数の流れでした！
15＝1×15，3×5 だから、小さい順に、1，3，5，15だ。
ということは、子どもの人数は1人、3人、5人、15人でいいのかな・・・？
青玉は全部で48個あって、3個あまったとあるから、子どもの人数が1人だったら、そもそも3個あまらないなあ。
子どもの人数が3人だったとしたら、あまった3個を3人にそれぞれ1個ずつ配って、やっぱりあまらないなあ。
わかりました！青玉のあまりが3個あるから、子どもの人数は3人より多くないといけないんですね！ということは、考えられる子どもの人数は5人と15人です！
バッチリ！大正解！！
約数を利用した入試頻出の文章題でしたが、公約数1，3，5，15を全部答えにしてしまうミスが多いです！青玉のあまり3個より多い人数を答えるということに注意！！
まとめ
”数の性質”の分野の最も基本的な単元、”約数”について説明いたしました。
この基本が理解できていれば、たいていの問題に応用可能です！
まずは、きちんと理解したうえで演習量をこなしましょう！
